หลังจากที่น้อง ๆ ได้รู้จักแล้วว่าเวกเตอร์คืออะไร สามารถเขียนสัญลักษณ์แทนเวกเตอร์ได้แบบไหนแล้ว แต่การจะบรรยายว่าเวกเตอร์นั้นมีขนาดเท่าไร และมีทิศทางไปทางไหนโดยใช้การวาดรูปไปตลอดคงจะไม่ค่อยสะดวกนัก จึงมีวิธีการเขียนเวกเตอร์ให้เข้าใจได้ง่ายอยู่ 2 แบบ คือ
1. การใช้เมทริกซ์ช่วย
2. การใช้เวกเตอร์ i⃗,j⃗,k⃗ ช่วย โดยที่เวกเตอร์ i⃗,j⃗,k⃗ เป็นเวกเตอร์ขนาดหนึ่งหน่วยที่มีทิศทางตามแกน X,Y,Z ในระบบพิกัดฉากตามลำดับ
ซึ่งวิธีการเขียน 2 แบบนี้มีความแตกต่างกันยังไง พี่มีตัวอย่างให้น้อง ๆ ได้ดู ตามนี้เลย
ตัวอย่างที่ 4
จงเขียนเวกเตอร์ OP→ ที่มีลักษณะดังรูป ในรูปแบบเมทริกซ์ และในรูปแบบเวกเตอร์ i⃗,j⃗,k⃗
วิธีทำ
- เขียนในรูปแบบเมทริกซ์ OP→=[345]
- เขียนในรูปแบบเวกเตอร์ i⃗,j⃗,k⃗
OP→=3i⃗,4j⃗,5k⃗
ป.ล. พี่จะขอใช้วิธีการเขียนเวกเตอร์ในรูปแบบเมทริกซ์ในการอธิบายเนื้อหาหลังจากนี้น้า
โดยตัวอย่างข้างต้นเป็นการหาเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นเป็นจุดกำเนิด แต่ถ้าจุดเริ่มต้นไม่ใช่จุดกำเนิดล่ะ จะหาเวกเตอร์ยังไงดี พี่มีตัวอย่างเล็ก ๆ ที่จะให้น้อง ๆ รู้วิธีหาเวกเตอร์จากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดใด ๆ ได้ ตามนี้เลย
ตัวอย่างที่ 5
จงหาเวกเตอร์ AB→ และ BA→ ที่มีจุด A คือจุด (3,4) และจุด B คือจุด (5,1)
วิธีทำ
AB→=[5−31−4]
=[ 2−3]
ดังนั้น AB→=[ 2−3]
BA→=[3−54−1]
=[−2 3]
ดังนั้น BA→=[−2 3]
ตัวอย่างที่ 6
จงหาเวกเตอร์ CD→ และ DC→ ที่มีจุด C คือจุด (1,−3,7) และจุด D คือจุด (−2,−1,2)
วิธีทำ
CD→ =[ −2 −1 −1 −(−3) 2 −7]
=[−3 2−5]
ดังนั้น CD→=[−3 2−5]
DC→=[ 1 −(−2) −3 −(−1) 7 −2]
=[ 3−2 5]
ดังนั้น DC→=[ 3−2 5]
ขนาดของเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
การหาขนาดของเวกเตอร์ เราจะใช้ความรู้เดิมจากเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ นั่นคือ ระยะห่างระหว่างจุดกับจุด เช่น ถ้าอยากหาขนาดของ AB→ เราจะหาระยะห่างระหว่างจุด A กับจุด B และสรุปเป็นขนาดของ AB→ ได้เลย โดยมีสูตรขนาดของเวกเตอร์ดังนี้
กำหนดให้ u⃗=[ab] และ v⃗=[abc] จะได้ว่า
ขนาดของ u⃗=∣u⃗∣=a2+b2
ขนาดของ v⃗=∣v⃗∣=a2+b2+c2
ตัวอย่างที่ 7
จงหาขนาดของ u⃗ โดยที่ u⃗=[ 2−3 6]
วิธีทำ
∣u⃗∣=22+(−3)2+62
=4+9+36
=49
=7
ดังนั้น ขนาดของ u⃗ คือ =7
เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในระบบพิกัดฉาก
บทนิยาม
เวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วย เรียกว่า เวกเตอร์หนึ่งหน่วย
เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในระบบพิกัดฉาก 2 มิติที่สำคัญคือ [10] เขียนแทนด้วย i⃗ และ [01] เขียนแทนด้วย j⃗
ส่วนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่สำคัญในระบบพิกัดฉาก 3 มิติที่สำคัญ คือ [100] เขียนแทนด้วย i⃗ , [010] เขียนแทนด้วย j⃗ และ [001] เขียนแทนด้วย k⃗
เนื่องจาก u⃗ ใด ๆ ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์จะมีขนาดเท่ากับ ∣u⃗∣ ดังนั้นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ u⃗ คือ u⃗∣u⃗∣
ตัวอย่างที่ 8
จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ [−4 8−1]
วิธีทำ
∣u⃗∣=(−4)2+(8)2+(−1)2
=16+64+1
=81
=9
u⃗∣u⃗∣=19[−4 8−1]
=[−49 89−19]
ดังนั้น เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ [−4 8−1] คือ [−49 89−19]
การดำเนินการของเวกเตอร์
ตัวอย่างที่ 9
กำหนดให้ u⃗=[−3 5] และ v⃗=[ 4−6] จงหา 2u⃗−v⃗
วิธีทำ
2u⃗−v⃗=2[−3 5]−[ 4−6]
=[−6 10]−[ 4−6]
=[−6 −4 10 −(−6)]
=[−10 16]
ดังนั้น 2u⃗−v⃗=[−10 16]