การบวกและการลบเมทริกซ์
ในหัวข้อนี้ พี่จะเริ่มพาน้อง ๆ มาดูการดำเนินการแบบง่าย ๆ กันก่อนนั่นคือการบวกและการลบเมทริกซ์ซึ่งจะเป็นตามบทนิยามต่อไปนี้
บทนิยาม
ให้ A=[aij]m×n และ B=[bij]m×n เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน
ผลบวกของเมทริกซ์ A กับเมทริกซ์ B คือ [cij]m×n เมื่อ cij=aij+bij
สำหรับทุก i∈{1,2,3,…,m } และ j∈{1,2,3,…,n } เขียนแทน A บวก B ด้วย A+B
นั่นคือ [aij]m×n+[bij]m× n=[aij+bij]m×n
จากนิยามข้างต้นสามารถอธิบายแบบง่าย ๆ ภาษาชาวบ้านหนึ่ง ได้ว่า เมทริกซ์ขนาดเท่ากันในตำแหน่งเดียวกัน สามารถนำมาบวกหรือลบกันได้ นั่นก็คือเมทริกซ์ที่มีขนาดไม่เท่ากันจะนำมาบวกกันไม่ได้นั่นเอง
ตัวอย่างที่ 4
ให้ A=[10−1−232]
และ B=[0134−1−3] จงหา
1. A+B
วิธีทำ A+B=[10−1−232]+[0134−1−3]
=[1+00+1−1+3−2+43+(−1)2+(−3)]
=[11222−1]
2. A−B
วิธีทำ A−B=[10−1−232]−[0134−1−3]
=[1−00−1−1−3−2−43−(−1)2−(−3)]
=[1−1−4−645]
การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง
การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงก็ไม่ยากเลย ขั้นตอนการทำไม่ซับซ้อน ก่อนอื่นไปพิจารณาบทนิยามต่อไปนี้กัน
บทนิยาม
ให้ A=[aij]m×n และ c เป็นจำนวนจริง
ผลคูณของ c กับเมทริกซ์ A คือ เมทริกซ์ [bij]m×n เมื่อ bij=caij
สำหรับทุก i∈{1,2,3,…,m } และ j∈{1,2,3,…,n }
เขียนแทนผลคูณของ c กับเมทริกซ์ A ด้วย cA
จะได้ว่า c[aij]m×n=[caij]m×n
จากบทนิยามข้างบนนี้ เราสามารถทำความเข้าใจการคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงได้แบบสั้น ๆ ดังนี้
ให้นำจำนวนจริงนั้น คูณสมาชิกทุกตัวในเมทริกซ์
ตัวอย่างที่ 5 ให้ A=[120−1] จงหา −5A
วิธีทำ −5A=[−5×1−5×2−5×0(−5)×(−1)]=[−5−1005]
การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
น้อง ๆ คนไหนที่เคยเรียนบทเมทริกซ์แล้ว มาย้อนอ่านบทความนี้ก็จะรู้ว่าส่วนใหญ่เราจะมองว่าการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์มันทำความเข้าใจได้ยาก แต่น้อง ๆ คนไหนที่เพิ่งมาทำความรู้จักกับบทเมทริกซ์ด้วยกันตรงนี้ก็อย่าเพิ่งตกใจไปนะ การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์มันซับซ้อนกว่าหัวข้อที่ผ่านมาก็จริง แต่เราทำได้แน่นอนน แค่ต้องเพิ่มความรอบคอบในการคิดคำนวณเท่านั้นเอง การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์จะเป็นอย่างไร มาเริ่มดูที่บทนิยามกันก่อนเลย
บทนิยาม
ให้ A=[aij]m×n และ B=[bij]p×q
ผลคูณของเมทริกซ์ A และ B เขียนแทนด้วย AB จะนิยามได้ ก็ต่อเมื่อ n=p และเมทริกซ์ผลคูณ AB จะมีขนาด m×q ซึ่งมีสมาชิกในแถวที่ i และหลักที่ j เป็น
ai1b1j+ai2b2j+⋯+ainbnj
สำหรับทุก i∈{1,2,3,…,m } และ j∈{1,2,3,…,q }
เพื่อให้เราทำความเข้าใจตามบทนิยามกันง่ายขึ้น ลองมาแบ่งวิธีการ คูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์จากนิยามข้างต้นแบบเป็นขั้นตอน 2 ขั้นตอนดังต่อไปนี้กัน
สังเกตได้ว่า ถ้าเราต้องการหาผลคูณของสมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 1 และหลักที่ 1 นั่นคือ c11 จะต้องนำสมาชิกในแถวที่ 1 ของเมทริกซ์ A มาดำเนินการกับสมาชิกในหลักที่ 1 ของเมทริกซ์ B
ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราอยากหาผลคูณของสมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 1 นั่นคือ c21 จะต้องนำสมาชิกในแถวที่ 2 ของเมทริกซ์ A มาดำเนินการกับสมาชิกในหลักที่ 1 ของเมทริกซ์ B
ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้ A=[21−10] และ B=[0−131] จงหา AB
วิธีทำ
ขั้นตอนที่ 1 ตรวจสอบว่าเมทริกซ์คูณกันได้หรือไม่
เมทริกซ์ A มีมิติเป็น 2×2 และเมทริกซ์ B มีมิติเป็น 2×2
ดังนั้นสามารถนำ A มาคูณกับ B ได้ โดยจะได้เมทริกซ์ AB ซึ่งเป็นคำตอบจะมีมิติเป็น 2×2
ขั้นตอนที่ 2 คูณเมทริกซ์
AB=[(2)(0)+(1)(3)(2)(−1)+(1)(1)(−1)(0)+(0)(3)(−1)(−1)+(0)(1)]=[3−101]
ตัวอย่างที่ 7 กำหนดให้ A=[−1132] และ B=[1001] จงหา AB
วิธีทำ
ขั้นตอนที่ 1 ตรวจสอบว่าเมทริกซ์คูณกันได้หรือไม่
เมทริกซ์ A มีมิติเป็น 2×2 และเมทริกซ์ B มีมิติเป็น 2×2
ดังนั้นสามารถนำ A มาคูณกับ B ได้ โดยจะได้เมทริกซ์ AB ซึ่งเป็นคำตอบจะมีมิติเป็น 2×2
ขั้นตอนที่ 2 คูณเมทริกซ์
AB=[(−1)(1)+(1)(0)(−1)(0)+(1)(1)(3)(1)+(2)(0)(3)(0)+(2)(1)]=[−1132]
จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่าเมื่อเรานำเมทริกซ์ A ไปคูณกับเมทริกซ์ B จะได้เมทริกซ์ที่เป็นคำตอบออกมาเป็นเมทริกซ์ที่หน้าตาเหมือนเมทริกซ์ A เลย นั่นก็เพราะว่าเมทริกซ์B ในตัวอย่างก่อนหน้านั้นเป็น “เมทริกซ์เอกลักษณ์” ไม่ว่าเราจะนำเมทริกซ์ใดมาคูณกับมันก็จะได้เมทริกซ์เดิมเสมอเลย
เมทริกซ์เอกลักษณ์
