ในการศึกษาหัวข้อนี้ เราจะใช้อักษร a, b, c, … แทนสเกลาร์ (จำนวนจริง)
บทนิยาม
ให้ a เป็นสเกลาร์ และ u⃗ เป็นเวกเตอร์ ผลคูณของ u⃗ กับสเกลาร์ a เป็นเวกเตอร์ เขียนแทนด้วย au⃗ โดยที่
- ถ้า a=0 แล้ว au⃗=0⃗
- ถ้า a>0 แล้ว au⃗ จะมีขนาด ∣a∣∣u⃗∣ หน่วย และมีทิศทางเดียวกับ u⃗
- ถ้า a<0 แล้ว au⃗ จะมีขนาด ∣a∣∣u⃗∣ หน่วย แต่มีทิศทางตรงข้ามกับ u⃗
หมายเหตุ
1. (−1)u⃗=−u⃗
2. ถ้า a≠0 และ u⃗ ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ แล้ว au⃗ จะขนานกับ u⃗
ตัวอย่างที่ 3
ให้ u⃗ เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาด 4 หน่วย จงบรรยายลักษณะของเวกเตอร์ต่อไปนี้
- 4u⃗
- −4u⃗
- 14u⃗
- −14u⃗
- เนื่องจาก 4>0 ดังนั้น 4u⃗ จะมีขนาดเป็นสี่เท่าของ u⃗ หรือมีขนาด 16 หน่วย และมีทิศทางเดียวกับ u⃗
- เนื่องจาก −4<0 ดังนั้น −4u⃗ จะมีขนาดเป็นสี่เท่าของ u⃗ หรือมีขนาด 16 หน่วย แต่มีทิศทางตรงข้ามกับ u⃗
- เนื่องจาก 14>0 ดังนั้น 14u⃗ จะมีขนาดเป็นหนึ่งในสี่ของu⃗ หรือมีขนาด 1 หน่วย และมีทิศทางเดียวกับ u⃗
- เนื่องจาก −14<0 ดังนั้น −14u⃗ จะมีขนาดเป็นหนึ่งในสี่ของ u⃗ หรือมีขนาด 1 หน่วย แต่มีทิศทางตรงข้ามกับ u⃗
สรุปสมบัติการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ ได้ดังนี้
ให้ a, b เป็นสเกลาร์ และ u⃗, v⃗ เป็นเวกเตอร์
- 1u⃗=u⃗
- a(u⃗+v⃗)=au⃗+av⃗
- (a+b)u⃗=au⃗+bu⃗
- (ab)u⃗=a(bu⃗)+b(au⃗)