การใช้เวกเตอร์ในการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ก่อนอื่น ขอทบทวนเรื่องตรีโกณมิติกันนิดนึงน้า ถ้าเรามีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มุมหนึ่งมีขนาด θ และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว a เราจะได้ว่าด้านประชิดมุมและด้านตรงข้ามมุมจะมีความยาวเป็น acosθ และ asinθ ดังรูป
เนื่องจาก ขนาดของเวกเตอร์สามารถแทนด้วยความยาวของเวกเตอร์ในรูปของลูกศรได้ แสดงว่า เราสามารถนำความยาวดังกล่าวมาใช้ในการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้ ว่าแต่เราจะประยุกต์ยังไง น้อง ๆ ไปดูกันเลย
กำหนดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD
ให้ u⃗=AB→,v⃗=AD→ และ θ เป็นขนาดของมุมระหว่าง u⃗ และ v⃗
สิ่งที่เราต้องการคือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งมีสูตรว่า ฐาน × สูง
โจทย์กำหนดเวกเตอร์มาให้เพียงอย่างเดียว เราต้องนำเวกเตอร์ที่มีไปหาขนาดก่อนเพื่อไปหาความยาวของด้านต่าง ๆ ต่อได้ โดยเราจะได้ว่าความยาวของฐานสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ ∣u⃗∣ ส่วนความสูงของสี่เหลี่ยมนั้น จากความรู้ตรีโกณมิติที่ทบทวนไปข้างต้นก็จะได้ว่าความสูงของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ ∣v⃗∣sinθ ดังรูป
จึงสรุปได้ว่า ∣u⃗∣∣v⃗∣sinθ เป็นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
แต่เนื่องจาก ∣u⃗×v⃗∣=∣u⃗∣∣v⃗∣sinθ
ดังนั้น ∣u⃗×v⃗∣ จึงเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานดังกล่าวด้วย
ตัวอย่างที่ 14
จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD เมื่อ AB→=2i⃗+j⃗+5k⃗ และ AD→=−i⃗+2j⃗+3k⃗
วิธีทำ พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD เท่ากับ ∣AB⃗∣×∣AD⃗∣ เนื่องจาก
AB⃗×AD⃗=∣i⃗j⃗k⃗215−123∣
=∣1523∣i⃗−∣25−13∣j⃗+∣21−12∣k⃗
=(3−10)i⃗−(6−(−5))j⃗+(4−(−1))k⃗
=−7i⃗−11j⃗+5k⃗
จะได้ ∣AB⃗×AD⃗∣=(−7)2+(11)2+(5)2=195
ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD มีพื้นที่ 195 ตารางหน่วย
การใช้เวกเตอร์ในการหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน
กำหนดทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCDEFGH ให้ u⃗=AB→,v⃗=AD→,w⃗=AF→ และ θ เป็นขนาดของมุมระหว่าง u⃗ และ v⃗×w⃗ ในที่นี้จะพิจารณารูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ADEF เป็นฐาน และ h เป็นความสูง จะได้ว่า h=∣u⃗∣∣cosθ∣ ดังรูป
จากสูตรการหาปริมาตรทางสี่เหลี่ยมขนานนั่นคือ พื้นที่ฐาน x สูง
ดังนั้น ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมขนานเท่ากับ ∣v⃗×w⃗∣∣u⃗∣∣cosθ∣=∣∣u⃗∣∣v⃗×w⃗∣∣cosθ∣
เนื่องจาก u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cosθ จึงได้ ∣u⃗⋅(v⃗×w⃗)∣ (ที่มีการใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ ∣…∣ ครอบไว้ทั้งหมด เพราะปริมาตรไม่สามารถเป็นจำนวนจริงลบได้)
ตัวอย่างที่ 15
จงหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCDEFGH โดยที่ AB→=u⃗=i⃗+2k⃗,AD→=v⃗=2j⃗+k⃗ และ AF→=w⃗=i⃗+2j⃗
วิธีทำ เนื่องจากปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ ∣u⃗⋅(v⃗×w⃗)∣
u⃗×w⃗=∣i⃗j⃗k⃗021120∣
=∣2120∣i⃗−∣0110∣j⃗+∣0212∣k⃗
=(0−2)i⃗−(0−1)j⃗+(0−2)k⃗
=−2i⃗+j⃗−2k⃗
จะได้ ∣u⃗⋅(v⃗×w⃗)∣=∣(i⃗+2k⃗)⋅(−2i⃗+j⃗−2k⃗)∣
=∣(1)(−2)+(0)(1)+(2)(−2)∣=∣−2−4∣=6
ดังนั้น ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCDEFGH เท่ากับ 6 ลูกบาศก์หน่วย