ในหัวข้อที่แล้วน้อง ๆ ได้รู้จักกับผลคูณเชิงสเกลาร์ซึ่งเกิดจากการคูณระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์แล้วได้ผลลัพธ์เป็น
สเกลาร์กันไปแล้ว ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการคูณระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์แล้วได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ดูบ้าง
ดังบทนิยามนี้
บทนิยาม
ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของ u⃗ และ v⃗ เขียนแทนด้วย u⃗×v⃗
กำหนดโดย u⃗×v⃗=(a2b3−a3b2)i⃗−(a1b3−a3b1)j⃗+(a1b2−a2b1)k⃗
u⃗×v⃗ อ่านว่า เวกเตอร์ยู ครอส เวกเตอร์วี
วิธีการหาผลคูณเชิงเวกเตอร์ (การครอสเวกเตอร์)
วิธีการครอสเวกเตอร์
u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗a1a2a3b1b2b3∣
=∣a2a3b2b3∣i⃗−∣a1a3b1b3∣j⃗+∣a1a2b1b2∣k⃗
=(a2b3−a3b2)i⃗−(a1b3−a3b1)j⃗+(a1b2−a2b1)k⃗
วิธีทำ
u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗230123∣
=∣3023∣i⃗−∣2013∣j⃗+∣2312∣k⃗+
=(9−0)i⃗−(6−0)j⃗+(4−3)k⃗
=9i⃗−6j⃗+k⃗
ทีนี้มาดูหน้าตาของเวกเตอร์ที่ได้จากการ “ครอส” กันเถอะ !!
ลักษณะของผลลัพธ์ของผลคูณเชิงเวกเตอร์
เราสามารถแสดงทิศทางของ u⃗×v⃗ โดยใช้กฎของมือขวาได้ดังรูป
และสามารถแสดงทิศทางของ v⃗×u⃗ โดยใช้กฎของมือขวาได้ดังรูป
มาดูวิดีโอแสดงทิศทางของเวกเตอร์โดยใช้กฎมือขวากันน
จะสังเกตได้ว่า เมื่อ u⃗ และ v⃗ เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ขนานกัน จะได้ว่าทั้ง
u⃗×v⃗ และ v⃗×u⃗ เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบของ u⃗ และ v⃗ และทั้งสองมีทิศทางตรงกันข้ามกัน
จึงสรุปได้ว่า u⃗×v⃗=−(v⃗×u⃗) หรือก็คือเป็นนิเสธของกันและกันนั่นเอง
สมบัติต่าง ๆ ของผลคูณเชิงเวกเตอร์
ให้ u⃗,v⃗ และ w⃗ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระบบพิกัดฉากสามมิติ และ a เป็นจํานวนจริงใด ๆ b
1. u⃗×v⃗=−(v⃗×u⃗)
2. (u⃗+v⃗)×w⃗=(u⃗×w⃗)+(v⃗×w⃗)
3. u⃗×(v⃗+w⃗)=(u⃗×v⃗)+(u⃗×w⃗)
4. u⃗×(av⃗)=a(u⃗×v⃗)
5. (au⃗)×(v⃗)=a(u⃗×v⃗)
6. u⃗×u⃗=0⃗
น้อง ๆ ได้รู้จักหน้าตาและทิศทางของผลคูณเชิงเวกเตอร์กันแล้ว คราวนี้เหลือขนาดของผลคูณเชิงเวกเตอร์ที่เรายังไม่รู้ ไปดูกันดีกว่าว่าเราจะหาขนาดของผลคูณเชิงเวกเตอร์ได้ยังไง
ให้ u⃗ และ v⃗ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระบบพิกัดฉากสามมิติ จะได้ว่า u⃗×v⃗ เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ u⃗ และ v⃗
และมีขนาดเป็น ∣u⃗×v⃗∣=∣u⃗∣∣v⃗∣sinθ
เมื่อ θ เป็นขนาดของมุมระหว่าง u⃗ และ v⃗ โดยที่
0∘≤θ≤180∘
ตัวอย่างที่ 13
ให้ u⃗=[120] และ v⃗=[11−2] จงหาค่าของ sinθ เมื่อ θ เป็นขนาดของมุมระหว่าง u⃗ และ v⃗
วิธีทำ
u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗12011−2∣
=∣201−2∣i⃗−∣101−2∣j⃗+∣1211∣k⃗
=(−4−0)i⃗−(−2−0)j⃗+(1−2)k⃗
=−4i⃗+2j⃗−k⃗
∣u⃗×v⃗∣=(−4)2+(2)2+(−1)2=21
∣u⃗∣=12+22+02=5
∣v⃗∣=12+12+(−2)2=6
เนื่องจาก ∣u⃗∣≠0,∣v⃗∣≠0 และ ∣u⃗×v⃗∣=∣u⃗∣∣v⃗∣sinθ
จะได้ว่า sinθ=∣u⃗×v⃗∣∣u⃗∣∣v⃗∣
ดังนั้น sinθ=2156=2130=710=7010