การบวกเวกเตอร์มีความแตกต่างกับการบวกของจำนวนทางคณิตศาสตร์ทั่วไป เพราะการบวกเวกเตอร์เราต้องคำนึงถึงทั้งขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ด้วย
บทนิยาม
ให้ u⃗ และ v⃗ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ เขียน v⃗ โดยให้จุดเริ่มต้นของ v⃗ อยู่ที่จุดสิ้นสุดของ u⃗ ผลบวกของ u⃗ และ v⃗ คือ เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดเริ่มต้นของ u⃗ และจุดสิ้นสุดอยู่ที่จุดสิ้นสุดของ v⃗
นั่นคือ การบวกของ u⃗ และ v⃗ คือการนำหัวของ v⃗ ต่อที่หางของ u⃗ แล้วผลบวกของ u⃗ และ v⃗ จะมีหางอยู่ที่หางของ u⃗ และหัวอยู่ที่หัวของ v⃗ หรือเราสามารถเรียกว่าการบวกเวกเตอร์แบบหางต่อหัวนั่นเอง
ผลบวกของ u⃗ และ v⃗ เขียนแทนด้วย u⃗+v⃗
ตัวอย่างที่ 1
จงหาเวกเตอร์ u⃗+v⃗
จากตัวอย่าง นำเวกเตอร์ v⃗ มาต่อกับเวกเตอร์ u⃗ ให้หางของเวกเตอร์ v⃗ ต่อที่หัวของเวกเตอร์ u⃗ แล้วเวกเตอร์ลัพธ์ u⃗+v⃗ จะลากจากหางของเวกเตอร์ u⃗ ไปที่หัวของเวกเตอร์ v⃗ ดังรูปข้างต้น
เวกเตอร์ศูนย์
บทนิยาม
เวกเตอร์ศูนย์ (zero vector) คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเป็นศูนย์
เวกเตอร์ศูนย์ เขียนแทนด้วย 0⃗
โดยทั่วไปเราจะไม่กล่าวถึงทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์ แต่ถ้าต้องการกล่าวถึงมีข้อตกลงว่าจะระบุทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์เป็นเช่นใดก็ได้
จากบทนิยามจะเห็นว่า สำหรับเวกเตอร์ u⃗ ใด ๆ u⃗+0⃗=0⃗+u⃗=u⃗ และ u⃗+(−u⃗)=(−u⃗)+u⃗=0⃗
เวกเตอร์ศูนย์จะมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์เป็นจุดเดียวกันนั่นเอง
สรุปสมบัติการบวกเวกเตอร์ ได้ดังนี้ u⃗
ให้ u⃗ , v⃗ และ w⃗ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ
1. u⃗+v⃗=v⃗+u⃗
2. (u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗)
3. u⃗+0⃗=0⃗+u⃗=u⃗
4. u⃗+(−u⃗)=(−u⃗)+u⃗=0⃗