เมทริกซ์ ม.5
เมทริกซ์ คืออะไร ?
จากในชีวิตประจำวันน้อง ๆ น่าจะเคยเห็นการนำเสนอข้อมูลผ่านตารางมาบ้างแล้ว ในทางคณิตศาสตร์ การใช้ตารางก็คือวิธีหนึ่งในการนำเสนอข้อมูลและจัดการข้อมูล โดยเราจะนำข้อมูลที่อยู่ในรูปตารางมาเขียนให้อยู่ภายใต้วงเล็บ ( ) หรือ [ ] ก็ได้ แต่ว่าในบทเรียนที่น้อง ๆ จะได้เรียนในบทนี้เราจะใช้วงเล็บแบบเหลี่ยม [ ] และเราจะเรียกว่า “เมทริกซ์”
จากตารางข้างต้นถ้าเราลองนำมาเขียนให้เป็นเมทริกซ์ ก็เพียงแค่นำข้อมูลมาใส่ไว้ในกรอบ [ ] ก็จะได้
[12 121 103 1 ]
เราก็พอจะเห็นกันคร่าว ๆ แล้วใช่ไหม ว่าเมทริกซ์มีรูปร่างหน้าตาเป็นอย่างไรบ้าง เราไปทำความรู้จักเมทริกซ์เพิ่มเติมในหัวข้อถัดไปกันเถอะ
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเมทริกซ์
แถวและหลักของเมทริกซ์
บทนิยามต่อไปนี้จะกล่าวถึงส่วนประกอบต่าง ๆ ของเมทริกซ์นะ โดยคำศัพท์ทั้งหลายมักจะใช้ไปตลอดทั้งบทนี้เลย ไม่ว่าจะเป็น “แถว” “หลัก” หรือคำศัพท์อื่น ๆ อย่าง “สมาชิก” “ขนาด” “มิติ” เพื่อให้เราเข้าใจได้ตรงกันและเรียกชื่อส่วนต่าง ๆ ได้ถูกต้อง ลองไปดูบทนิยามด้วยกันเลยย
บทนิยาม
ให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ชุดของจำนวนจริง mn จำนวน ซึ่งเรียงกันในรูป
จากรูปชุดของสมาชิกที่เขียนในแนวนอน เรียกว่า แถว (row) ของเมทริกซ์ ซึ่งมีทั้งหมด m แถว
ชุดของสมาชิกที่เขียนในแนวตั้ง เรียกว่า หลัก (column) ของเมทริกซ์ ซึ่งมีทั้งหมด n หลัก
เรียก aij ว่าเป็น สมาชิก (entry) ในแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ์
ถ้าเมทริกซ์มี m แถว n หลัก จะเรียก m×n ว่า ขนาด (size) หรือ มิติ (dimension) ของเมทริกซ์
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ A=[12 0−24 −1] จงหา
1. a12
วิธีทำ จาก a12 คือสมาชิกในแถวที่ 1 หลักที่ 2
จะได้ว่า a12=2
2. a13
วิธีทำ จาก a13 คือสมาชิกในแถวที่ 1 หลักที่ 3
จะได้ว่า a13=0
3. a22
วิธีทำ จาก a22 คือสมาชิกในแถวที่ 2 หลักที่ 2
จะได้ว่า a22=4
การเท่ากันของเมทริกซ์
เมทริกซ์สองเมทริกซ์จะเท่ากันได้ต้องมีลักษณะตามนิยามต่อไปนี้เลย
บทนิยาม
ให้ A=[aij]m×n และ B=[bij]p×q
A เท่ากับ B ก็ต่อเมื่อ m=p,n=q และ aij=bij สำหรับทุก i∈{1,2,3,…,m } และ j∈{1,2,3,…,n }
เขียนแทน A เท่ากับ B ด้วย A=B
จากบทนิยามข้างต้นถ้าพี่จะสรุปให้น้องเข้าใจได้ง่าย ๆ ก็คือ
เมทริกซ์จะเท่ากันได้ต้องมีขนาดเท่ากัน และในสมาชิกตำแหน่งเดียวกัน ต้องมีค่าเท่ากัน
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ [1×03]=[12y−13] จงหาค่าของ x และ y
แนวคิด จากการเท่ากันของเมทริกซ์ สมาชิกในตำแหน่งเดียวกันต้องมีค่าเท่ากัน ให้น้อง ๆ นำสมาชิกในตำแหน่งเดียวกันมาเชื่อมด้วยเครื่องหมายเท่ากับ และแก้สมการหาค่าของ x และ y
วิธีทำ จากบทนิยาม
จะได้ว่า x=2
และ y−1=0 นั่นคือ y=1
ดังนั้น x=2 และ y=1
เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (transpose of a matrix)
น้อง ๆ บางคนอาจจะเคยได้ยินหรือคุ้นชินกับเมทริกซ์สลับเปลี่ยนในอีกชื่อหนึ่งคือ transpose of a matrix ซึ่ง transpose (ทรานสโพส) หมายถึงการเปลี่ยนตำแหน่ง ในหัวข้อนี้เราจะมาสลับตำแหน่งของสมาชิกในเมทริกซ์กัน โดยมาดูนิยามของเมทริกซ์สลับเปลี่ยนกันก่อนว่าตำแหน่งของสมาชิกในเมทริกซ์จะเปลี่ยนไปอย่างไรบ้าง
บทนิยาม
ให้ A=[aij]m×n และ B=[bij]n×m โดยที่ bij=aji
สำหรับทุก i∈{1,2,3,…,n } และ j∈{1,2,3,…,m }
แล้วจะเรียก B ว่า เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (transpose of a matrix) ของ A เขียนแทนด้วย At
จากบทนิยามในกรอบข้างต้นถ้าพี่จะสรุปให้เข้าใจกันแบบง่าย ๆ ก็จะได้ว่า
เมทริกซ์สลับเปลี่ยน คือ การเรียงสมาชิกใหม่ โดยนำแถวไปเป็นหลัก นำหลักไปเป็นแถว
ตัวอย่างที่ 3
ให้ A=[120−1−10] จงหา At
วิธีทำ จะได้ว่า At=[10 −12−1 0]
นอกจากนี้เมทริกซ์สลับเปลี่ยนก็ยังมีสมบัติอีกด้วย
สมบัติของเมทริกซ์สลับเปลี่ยน
- (At)t=A
- (cA)t=cAt เมื่อ c เป็นจำนวนจริง
- (A+B)t=At+Bt
- (AB)t=BtAt
ในสมบัติข้อสุดท้าย ต้องอย่าลืมสลับที่ A กับ B ให้เป็นแบบในสมบัติที่พี่เขียนด้วย ไม่งั้นจะผิดได้น้า